線、角、相交線、平行線

規律1

如果平面上有n(n≥2)個點，其中任何三點都不在同一直線上，那么每兩點畫一條直線，一共可以畫出n(n－1)條。

規律2

平面上的n條直線最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕個部分。

規律3

如果一條直線上有n個點，那么在這個圖形中共有線段的條數為n(n－1)條。

規律4

線段（或延長線）上任一點分線段為兩段，這兩條線段的中點的距離等于線段長的一半。

規律5

有公共端點的n條射線所構成的交點的個數一共有n(n－1)個。

規律6

如果平面內有n條直線都經過同一點，則可構成小于平角的角共有2n（n－1）個。

規律7

如果平面內有n條直線都經過同一點，則可構成n（n－1）對對頂角。

規律8

平面上若有n（n≥3）個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）個。

規律9

互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數為90°。

規律10

平面上有n條直線相交，最多交點的個數為n(n－1)個。

規律11

互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角的差的一半。

規律12

當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內錯角的角平分線互相平行，同旁內角的角平分線互相垂直。

規律13

已知AB∥DE,如圖⑴～⑹,規律如下：

規律14

成“8”字形的兩個三角形的一對內角平分線相交所成的角等于另兩個內角和的一半。

三角形部分

規律15

在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩點或延長某邊構造三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再利用三邊關系定理及不等式性質證題。

注意：利用三角形三邊關系定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題。

規律16

三角形的一個內角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角，等于第三個內角的一半。

規律17

三角形的兩個內角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個內角的一半。

規律18

三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90o減去第三個內角的一半。

規律19

從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角差（的絕對值）的一半。

注意：同學們在學習幾何時，可以把自己證完的題進行適當變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應變的能力。

規律20

在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角證明角的不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內角的位置上，再利用外角定理證題。

規律21

有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形。

規律22

有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構造全等三角形。

規律23

在三角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等三角形。

規律24

截長補短作輔助線的方法

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統稱截長補短法。

當已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法：

①a＞b

②a±b=c

③a±b=c±d

規律25

證明兩條線段相等的步驟：

①觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。

②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等。

③如果沒有相等的線段代換，可設法作輔助線構造全等三角形。

規律26

在一個圖形中，有多個垂直關系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相等。

規律27

三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等。

規律28

條件不足時延長已知邊構造三角形。

規律29

連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉化成三角形來解決問題。

規律30

有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。可歸結為“角分垂等腰歸”。

規律31

當證題有困難時，可結合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構造全等三角形。

規律32

當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件。

規律33

有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題。

規律34

有等腰三角形時常用的輔助線

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

⑵有底邊中點時，常作底邊中線

⑶將腰延長一倍，構造直角三角形解題

⑷常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線

⑸常過一腰上的某一已知點做底的平行線

⑹常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形------等邊三角形

規律35

有二倍角時常用的輔助線

⑴構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

⑵平分二倍角

⑶加倍小角

規律36

有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結起來。

規律37

有垂直時常構造垂直平分線。

規律38

有中點時常構造垂直平分線。

規律39

當涉及到線段平方的關系式時常構造直角三角形，利用勾股定理證題。

規律40

條件中出現特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中。

四邊形部分

規律41

平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半。

規律42

平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差。

規律43

有平行線時常作平行線構造平行四邊形。

規律44

有以平行四邊形一邊中點為端點的線段時常延長此線段。

規律45

平行四邊形對角線的交點到一組對邊距離相等。

規律46

平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點與對邊的兩個端點的連線所構成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。

規律47

平行四邊形內任意一點與四個頂點的連線所構成的四個三角形中，不相鄰的兩個三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半。

規律48

任意一點與同一平面內的矩形各點的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等。

規律49

平行四邊形四個內角平分線所圍成的四邊形為矩形。

規律50

有垂直時可作垂線構造矩形或平行線。

規律51

直角三角形常用輔助線方法：

⑴作斜邊上的高

⑵作斜邊中線，當有下列情況時常作斜邊中線：

①有斜邊中點時

②有和斜邊倍分關系的線段時

規律52

正方形一條對角線上一點到另一條對角線上的兩端距離相等。

規律53

有正方形一邊中點時常取另一邊中點。

規律54

利用正方形進行旋轉變換

旋轉變換就是當圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點旋轉到另一位置的引輔助線方法。

旋轉變換主要用途是把分散元素通過旋轉集中起來，從而為證題創造必要的條件。

旋轉變換經常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中。

規律55

有以正方形一邊中點為端點的線段時，常把這條線段延長，構造全等三角形。

規律56

從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形。

規律57

從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉化成一個矩形和兩個三角形。

規律58

從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形轉化成平行四邊形和三角形。

規律59

延長梯形兩腰使它們交于一點，把梯形轉化成三角形。

規律60

有梯形一腰中點時，常過此中點作另一腰的平行線，把梯形轉化成平行四邊形。

規律61

有梯形一腰中點時，也常把一底的端點與中點連結并延長與另一底的延長線相交，把梯形轉換成三角形。

規律62

梯形有底的中點時，常過中點做兩腰的平行線。

規律63

任意四邊形的對角線互相垂直時，它們的面積都等于對角線乘積的一半。

規律64

有線段中點時，常過中點作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題。

規律65

有下列情況時常作三角形中位線。

⑴有一邊中點；

⑵有線段倍分關系；

⑶有兩邊（或兩邊以上）中點。

規律66

有下列情況時常構造梯形中位線

⑴有一腰中點

⑵有兩腰中點

⑶涉及梯形上、下底和

規律67

連結任意四邊形各邊中點所得的四邊形為平行四邊形。

規律68

連結對角線相等的四邊形中點所得的四邊形為菱形。

規律69

連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形為矩形。

規律70

連結對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所得的四邊形為正方形。

規律71

連結平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形。

規律72

等腰梯形的對角線互相垂直時，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線的長）。

規律73

等腰梯形的對角線與底構成的兩個三角形為等腰三角形。

規律74

如果矩形對角線相交所成的鈍角為120o，則矩形較短邊是對角線長的一半。

規律75

梯形的面積等于一腰的中點到另一腰的距離與另一腰的乘積。

規律76

若菱形有一內角為120°，則菱形的周長是較短對角線長的4倍。

相似形和解直角三角形部分

規律77

當圖形中有叉線（基本圖形如下）時，常作平行線。

規律78

有中線時延長中線（有時也可在中線上截取線段）構造平行四邊形。

規律79

當已知或求證中，涉及到以下情況時，常構造直角三角形。

⑴有特殊角時，如有30°、45°、60°、120°、135°角時.

⑵涉及有關銳角三角函數值時.

構造直角三角形經常通過作垂線來實現.

規律80

0°、30°、45°、60°、90°角的三角函數值表。

另外：0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦、正切值也可用下面的口訣來記憶：

0°可記為北京電話區號不存在，即：010不存在，90°正好相反

30°、45°、60°可記為：

1、2、3、3、2、1，

3、9、27，

弦比2，切比3，

分子根號別忘添.

其中余切值可利用正切與余切互為倒數求得。

規律81

同角三角函數之間的關系：

（1）.平方關系：sin?2;α+cos?2;α=1

（2）.倒數關系：tanα·cotα=1

（3）.商數關系：

規律82

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。

規律83

任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

規律84

三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半。

規律85

等腰直角三角形斜邊的長等于直角邊的√2倍。

規律86

在含有30°角的直角三角形中，60o角所對的直角邊是30°角所對的直角邊的√3倍。（即30°角所對的直角邊是幾，另一條直角邊就是幾倍√3。）

規律87

直角三角形中，如果較長直角邊是較短直角邊的2倍，則斜邊是較短直角邊的√5倍。

圓部分

規律88

圓中解決有關弦的問題時，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二是構造直角三角形，利用勾股定理解題。

規律89

有等弧或證弧等時常連等弧所對的弦或作等弧所對的圓心角。

規律90

有弦中點時常連弦心距。

規律91

證明弦相等或已知弦相等時常作弦心距。

規律92

有弧中點（或證明是弧中點）時，常有以下幾種引輔助線的方法：

⑴連結過弧中點的半徑

⑵連結等弧所對的弦

⑶連結等弧所對的圓心角

規律93

圓內角的度數等于它所對的弧與它對頂角所對的弧的度數之和的一半。

規律94

圓外角的度數等于它所截兩條弧的度數之差的一半。

規律95

有直徑時常作直徑所對的圓周角，再利用直徑所對的圓周角為直角證題。

規律96

有垂直弦時也常作直徑所對的圓周角。

規律97

有等弧時常作輔助線有以下幾種：

⑴作等弧所對的弦

⑵作等弧所對的圓心角

⑶作等弧所對的圓周角

規律98

有弦中點時，常構造三角形中位線。

規律99

圓上有四點時，常構造圓內接四邊形。

規律100

兩圓相交時，常連結兩圓的公共弦。

規律101

在證明直線和圓相切時，常有以下兩種引輔助線方法：

⑴當已知直線經過圓上的一點，那么連結這點和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可。

⑵如果不知直線與圓是否有交點時，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑的長即可。

規律102

當已知條件中有切線時，常作過切點的半徑，利用切線的性質定理證題。