第一章 極限與連續

考點 1 函數極限四則運算法則

如果有 lim f (x) = A，lim g (x)= B ，則

x?x x?x

0 0

（1） f (x)± g (x) = f (x )± g (x )= A± B

lim［ ］ lim lim .

x?x x?x x?x

0 0 0

（2） ( ) ( ) ( ) ( )

lim［ ］= lim lim = .

f x g g x f x g g x A g B

x ? x x ? x x ? x

0 0 0

ì =

a

^m ， ，

m n

?

b

? ( ) + ^-1 +?+ ?

n

P x a x^m a x^m a

（4） ， ＞ ，

lim = lim = í￥

m m 0 m n

-1

( )

n n-1

+ +?+ ?

x?￥ x?￥

Q x b x b x b

n n-1

0

0，m＜n.

?

??

考點 2 無窮小的等價代換定理

設 a (x)，a (x)，b (x)，b (x) _{是 自 變 量} x 在 同 一 變 化 過 程 中 的 無 窮 小 量 ， 且 滿 足

a ～a ，b (x)～b (x)，f (x),g (x)_{在這一條件下有意義，若} ( ) ( )

lim

a x f x

存在，

(x) (x)

b x g（x）

( )

a x f x a x f x

( ) ( ) ( ) ( )

則 .

lim = lim

b ( ) b ( )

x g（x） x g（x）

常用的等價無窮小：

當 x ? 0 時， sin ln (1 ) arcsin arctan e 1 tan

x～ x～ + x ～ x～ x～ - ～ x ，

x

1

₂ ( )^a a

1-cos ～ , 1+ -1～ （a 為實常數，a 1 0 ）.

x x x x

2 考點 3 兩個重要極限

x

sin x = ； lim?1 1 ? e lim 1 + = .

? ÷

x?0 x _x?￥ è x ?

第二章 一元函數微分學

考點 1 導數的定義

f (x)- f (x )

函數 y = f (x)_在點 x₀ 處的導數可表示為： ( )

f ￠ x = lim

0

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